Manejo de Ecuaciones

DOCUMENTO AUN EN DESARROLLO, NO TOMAR COMO TERMINADO.

Lo primero los paquetes que pueden ser útiles según las necesidades:

\usepackage{amssymb, amsmath, amsbsy} % simbolitos

\usepackage{upgreek} % para poner letras griegas sin cursiva

\usepackage{cancel} % para tachar

\usepackage{mathdots} % para el comando \iddots

\usepackage{mathrsfs} % para formato de letra

\usepackage{stackrel} % para el comando \stackbin

\begin{document}

\end{document}

Será entre \begin{document} y \end{document} donde iremos escribiendo nuestros códigos.

Dividir una ecuación

La ecuación debe ser incluida dentro el ambiente equation si se requiere que aparezca numerada, se puede usar equation* (con un asterisco) si no se quiere que se enumere. Dentro del ambiente equation se usa el ambiente split para dividir la ecuación en partes más pequeñas, las cuáles serán alienadas automáticamente. El uso de una doble diagonal invertida (double backslash) funciona como salto de línea. El signo et o (también conocido por su nombre en inglés, ampersand) & sirve para establecer los puntos respecto a los cuales se alinearán verticalmente las ecuaciones.

\begin{equation} \label{eq1}

\begin{split}

A & = \frac{\pi r^2}{2} \\

& = \frac{1}{2} \pi r^2

\end{split}

\end{equation}

Escribir una sola ecuación

Para mostrar una única ecuación, se debe usar ya sea el ambiente equation* para ecuaciones no numeradas, o el ambiente equation para ecuaciones numeradas. Adicionalmente es posible añadir una etiqueta por medio del comando \label, etiqueta que posteriormente puede ser referida dentro del documento.

\begin{equation}

e^{\pi i} - 1 = 0

\end{equation}

Ecuaciones de varias lineas

Para crear una ecuación que se extiende por más de una linea se debe usar el ambiente multline. Se debe insertar una doble diagonal invertida para establecer el punto en que la ecuación será separada. La primera parte estará alineada a la izquierda mientras que la otra parte se mostrará en la siguiente línea y será alineada a la derecha.

De igual manera que con los otros comandos, se debe puede un asterisco en el nombre del ambiente para determinar si la ecuación será enumerada o no.

Alinear varias ecuaciones

Si hay varias ecuaciones que deben ser alineadas verticalmente, el ambiente align se encarga de ello:

\begin{align*}

2x - 5y &= 8 \\

3x + 9y &= -12

\end{align*}

El signo & determina los puntos de alineación de las ecuaciones. Veamos un ejemplo un poco más complejo:

\begin{align*}

x&=y & w &=z & a&=b+c\\

2x&=-y & 3w&=\frac{1}{2}z & a&=b\\

-4 + 5x&=2+y & w+2&=-1+w & ab&=cb

\end{align*}

Agrupar y centrar ecuaciones

Si tan solo necesitas mostrar una serie de ecuaciones consecutivas, centradas y sin ninguna alineación, usa el ambiente gather. El truco del asterisco para habilitar/deshabilitar la enumeración de ecuaciones también funciona aquí.

\begin{gather*}

2x - 5y = 8 \\

3x^2 + 9y = 3a + c

\end{gather*}

Espacios en la Ecuación

Los espacios en blanco se escriben con "\ ". Y los espacios negativos con "\!":

\begin{equation}

x y, x \ y, x \! y

\end{equation}

Símbolos sobre letras

Los simbolitos sobre una letra, se pueden poner de la siguiente manera

\begin{equation}

\hat{a}, \check{a}, \tilde{a}, \bar{a},

\acute{a}, \grave{a}, \dot{a}, \ddot{a},

\end{equation}

Vectores

Si queremos escribir vectores, podemos usar líneas o flechitas sobre nuestras variables:

\begin{equation}

\overline{ab}, \underline{ab}, \vec{ab}, \overrightarrow{ab}

\end{equation}

Y para escribir el símbolo de producto escalar o vectorial, podemos hacer lo siguiente:

\begin{equation}

a \cdot b \times x

\end{equation}

Podemos indicar las partes de una ecuación de la siguiente forma:

\begin{equation}

y = \underbrace{f(1)}_{parte\ 1} + \overbrace{f(2)}^{parte\ 2}

\end{equation}

Nota: los espacios en blanco los he puesto con "\ ".

O utilizando el función "\stackbin[]{}" (para la que hay que cargar el paquete {stackrel}):

\usepackage{stackrel}

\begin{equation} \label{reac:A2B}

\stackbin[xxx]{}{x_1} = \stackbin{yyy}{y^2} = \stackbin[zzz]{www}{z_1}

\end{equation}

Las funciones seno, coseno, tangente, mínimo, máximo, límite, etc. se escriben como \sin, \cos, \tan, \min, \max, \lim, etc. Al considerarlas funciones, LaTeX ya no las pone en cursiva.

\begin{equation}

y(x_{i}) = \sin(x_{i})^{2}

\end{equation}

Para poner letras griegas se pueden usar los siguientes comandos:

\begin{equation}

\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta, \theta, \iota, \kappa, \lambda

\end{equation}

\begin{equation}

\mu, \nu, \xi, \pi, \rho, \sigma, \tau, \upsilon, \phi, \chi, \psi, \omega

\end{equation}

\begin{equation}

\Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda, \Xi, \Pi, \Sigma, \Upsilon, \Phi, \Psi, \Omega

\end{equation}

\begin{equation}

\varepsilon, \vartheta, \varpi, \varrho, \varsigma, \varphi

\end{equation}

Hay veces que resulta interesante poner una letra bonita. A continuación, algunos ejemplos. (Para usar el comando \mathscr, es necesario cargar el paquete {mathrsfs}. Este comando solo trabaja con letras mayúsculas.)

\usepackage{mathrsfs}

\begin{equation}

\mathrm{R}, \mathbb{R}, \mathcal{R}, \mathfrak{R}

\end{equation}

\begin{equation}

\mathbf{R}, \mathsf{R}, \mathit{R}, \mathscr{R}

\end{equation}

Las letras griegas funcionan de una manera un poco particular: 1) Para poner en negrita una letra griega, no funciona el comando \mathbf{}. Podemos usar el comando \boldsymbol{} (requiere el paquete {amsmath}), o bien el comando \bm{} (requiere el paquete {bm}). 2) Para escribir sin cursiva una letra griega, tampoco funciona el comando \mathsf{}. Para ello hay que utilizar el paquete {upgreek}, que contiene las letras griegas sin cursiva: \upalpha, \upbeta, etc... A continuación un ejemplo:

\usepackage{upgreek}

\begin{equation}

\tau, \boldsymbol{\tau}, \uptau, \boldsymbol{\uptau}

\end{equation}

Transformada de Laplace (donde es necesario el paquete {mathrsfs}):

\usepackage{mathrsfs}

\begin{equation}

\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s)

\end{equation}

Nota: las llaves las he puesto con "'\{" y "\}".

Algunos simbolitos matemáticos:

\begin{equation}

\pm, \leq, \geq, \ll, \gg

\propto, \sim, \simeq, \approx, \cong

\not=, \not<, \not>, \equiv

\end{equation}

Más simbolitos matemáticos:

\begin{equation}

\infty, \emptyset, \forall

\exists, \nabla, \in

\end{equation}

Y algunos puntitos que vienen bien cuando dibujamos vectores y matrices. (Por cierto, para el comando "\iddots", se necesita cargar el paquete {mathdots}.)

\usepackage{mathdots}

\begin{equation}

\cdots, \ldots, \vdots, \ddots, \iddots

\end{equation}

Sumatorio, productorio e integral:

\begin{equation}

\sum_{i=0}^n, \prod_{j=1}^{5}, \int_{x=0}^{x=\pi}, \oint,

\end{equation}

Límites:

\begin{equation}

\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0

\end{equation}

Nota: LaTeX, al estar trabajando con [spanish]{babel}, ha puesto lím con acento. El símbolo del seno es "sin", ya que viene del latín "sinus".

Un ejemplo de cómo escribir una función a minimizar:

\begin{equation}

\min_{u} f_{objetivo} = \sum_{i}(y_{i}- \hat y_{i})^{2}

\end{equation}

Nota: LaTeX, al estar trabajando con [spanish]{babel}, ha puesto mín con acento.

Flechitas. (Por cierto, para usar "\leftrigharrows", necesitamos el paquete {amssymb}.)

\usepackage{amssymb}

\begin{equation}

\rightarrow \longrightarrow \leftarrow \longleftarrow

\Rightarrow \Longrightarrow \Leftarrow \Longleftarrow

\uparrow \downarrow \Uparrow \Downarrow

\nearrow \nwarrow \swarrow \searrow

\leftrightarrow \Leftrightarrow \rightleftharpoons \leftrightarrows

\end{equation}

Raíces:

\begin{equation}

\sqrt{y\,a} = \sqrt[n]{b}

\end{equation}

Fracciones:

\begin{equation}

\frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac15 + \frac1{x}

\end{equation}

Números combinatorios:

\begin{equation}

{n \choose r}

\end{equation}

Las derivadas, pueden ponerse de alguna de estas maneras:

\begin{equation}

y' = \dot{y} = \frac{\partial y}{\partial t}

\end{equation}

Los paréntesis, corchetes y rayitas verticales, se pueden escribir directamente:

\begin{equation}

(x) = [x] = |x|

\end{equation}

Para llaves tenemos que hacerlo con el siguiente código. (El comando "\lbrack" es una forma alternativa para poner corchetes. Si hay alguna diferencia entre ambas formas, no la conozco.)

\begin{equation}

\lbrace x \rbrace = \langle x \rangle = \lbrack x \rbrack

\end{equation}

Cuando lo que está dentro de los paréntesis es más grande que una línea, es mejor hacerlo de la siguiente manera. Si queremos abrir paréntesis, corchetes o poner una raya vertical, se hace respectivamente con "\left(", "\left[", "\left|"... El único que es un poco distinto es abre llave, que se hace con "\left\lbrace". De forma similar, para cerrar un símbolo se hace con "\right)", "\right]", etc. A continuación, se puede ver un ejemplo:

\begin{equation}

\left( \frac12 \right) = \left[ \frac12 \right] = \left| \frac12 \right| = \left\lbrace \frac12 \right\rbrace

\end{equation}

No es necesario que el símbolo de la izquierda sea igual que el de la derecha. Pero siempre tiene que haber un "\left" y un "\right".

\begin{equation}

\left( \frac12 \right] = \left\lbrace \frac12 \right| = \left\rbrace \frac12 \right(

\end{equation}

Si no queremos que haya un símbolo de abrir o cerrar, se pone con "\left." o "\right." respectivamente. Es decir:

\begin{equation}

\left\lbrace \frac12 \right. = \left. \frac12 \right| = \left[ \frac12 \right.

\end{equation}

Con "\left(" y "\right)", LaTeX aumenta automáticamente el tamaño del paréntesis. Pero hay veces que lo mantiene pequeñito, y quedaría mejor grande. En esos casos, podemos usar mejor "\Big(", "\bigg(" y "\Bigg(", como se ve a continuación:

\begin{equation}

\left( \left( \left( (x + 1) -1 \right) +1 \right) -1\right)

\end{equation}

\begin{equation}

\Bigg( \bigg( \Big( (x + 1) -1 \Big) +1 \bigg) -1 \Bigg)

\end{equation}

Las matrices se escriben de manera similar a las tablas (tienes más información sobre tablas en otras entradas). Se usa & para pasar al elemento siguiente y \\ para cambiar de línea. En \begin{array}{cc} la letra "c" significa elemento alineado en el centro. También se podía haber puesto "l" o "r", para alineación a la izquierda o a la derecha.

\begin{equation}

\begin{array}{cc}

a & b \\

ccc & d

\end{array}

\end{equation}

Algunos ejemplos de matrices más complejos:

\begin{equation}

\left(

\begin{array}{cccc}

1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & 1

\end{array}

\right)

\end{equation}

\begin{equation}

f(x) = \left\lbrace

\begin{array}{ll}

\textup{si } x>5 & 1\\

\textup{si } x\leq 5 & 0

\end{array}

\right.

\end{equation}

\begin{equation}

\begin{array}{llllll}

& x_1 &&& = & 10 \\

+ \\

& x_1 & + & x_2 & = & 1\\

\cline{2-6}

& 2x_1 & + & x_2 & = & 11

\end{array}

\end{equation}

Los saltos de línea se pueden hacer de la siguiente manera. Por cierto, uso el comando \nonumber para evitar que LaTeX numere cada línea de la ecuación:

\begin{eqnarray}

\nonumber x = 1 + 2 + 3 + \\

+ 4 + 5

\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}

\nonumber x & = & (a+b)^2 \\

& = & a^2 + b^2 + 2\,a\,b

\end{eqnarray}

El paquete {cancel} contiene varias instrucciones para tachar elementos:

\begin{equation}

x + \cancel{y} = 5 + \cancel{y}

\end{equation}